Master Mathematik

Die Hauptmodule im Bereich "Algebra" sind in der Regel aus dem Bereich der Reellen Algebraischen Geometrie. Dabei werden geometrische Objekte mit vorwiegend algebraischen Methoden untersucht, die sich in einer "sparsamen" aber genügend allgemeinen Sprache beschreiben lassen. Anders als die klassische Algebraische Geometrie, stehen bei der Reellen Algebraischen Geometrie neben Gleichungen auch Ungleichungen im Zentrum. Auch wird nach reellen Lösungen gesucht statt nach komplexen. Für die Modellierung von Anwendungsvorgängen ist beides ein großer Vorteil.

Die Angebote von Spezialisierungsmodulen im Bereich "Algebra" variieren stark. Sie reichen von Darstellungstheorie über die Invariantentheorie bis hin zur algebraischen Modelltheorie und Logik. Anders als in klassischen Vorlesungen über diese Thematiken werden dabei wenn möglich auch reelle Grundkörper zugelassen. Während die im Hauptmodul "Reelle Algebraische Geometrie" zur Verfügung gestellten algebraischen Methoden noch allgemeiner Natur sind, stehen jetzt oftmals Aspekte im Vordergrund, die es ermöglichen, die Methoden auf bestimmte Anwendungen hin zu trimmen. Solche Aspekte sind zum Beispiel "Dünnbesetztheit" und "Symmetrie".

In den Master-Kursen in Analysis werden Partielle Differentialgleichungen unter verschiedenen Gesichtspunkten und mit unterschiedlichen Methoden analysiert, wobei Fragen wie Wohlgestelltheit, verschiedene Lösungsbegriffe, Stabilität und Langzeitasymptotik im Vordergrund stehen.

Das Hauptmodul "Theorie Partieller Differentialgleichungen II" behandelt Evolutionsgleichungen mit modernen Methoden, etwa Halbgruppentheorie, Sobolevraum-Lösungen und Energiemethoden. Darauf aufbauend werden Spezialisierungsmodule angeboten, die thematisch an der Forschung des jeweiligen Dozenten orientiert sind. Typische Beispiele sind Vorlesungen über Fluid- und Elektrodynamik, Nichtlineare Wellen (Freistühler), Gekoppelte, thermo-elastische Systeme (Racke), Stochastische Partielle Differentialgleichungen und Parabolische Randwertprobleme (Denk). Ergänzt werden diese durch mehr methodisch orientierte Spezialisierungsmodule wie Dynamische Systeme, Hyperbolische Randwertprobleme, Evolutionsgleichungen in halb-unendlichen Gebieten, Pseudodifferentialoperatoren und Quadratische Formen.

Ziel der Kurse in Differentialgeometrie ist es, mit zusätzlichen Kursen zu Partiellen Differentialgleichungen, Evolutionsgleichungen wie den mittleren Krümmungsfluss untersuchen zu können.

Die Vorlesung Differentialgeometrie II beschäftigt sich mit abstrakten Mannigfaltigkeiten. Unabhängig davon werden Analysisvorlesungen zu Partiellen Differentialgleichungen über L²-Theorie, Maximumprinzipien, Schaudertheorie und Krylov-Safonov Abschätzungen angeboten. Beide Zweige werden dann durch Vorlesungen über den graphischen mittleren Krümmungsfluss und über Monge-Ampère Gleichungen im Zusammenhang mit der Gaußkrümmung fortgeführt. Ergänzt wird das Angebot gelegentlich durch Differentialtopologie, Algebraische Topologie und Variationsrechnung.

Die Hauptmodule im Bereich "Geometrie" sind derzeit meist identisch mit den Hauptmodulen des Bereiches Algebra, also aus dem Bereich der Reellen Algebraischen Geometrie, der unter "Algebra" beschrieben wird. Darauf baut das speziellere Angebote aus dem Bereich "Geometrie" auf. Als Beispiele für die wechselnden Angebote von Spezialvorlesungen nennen wir Tropische Geometrie, Torische Varietäten, Tensorgeometrie, Geometrie Linearer Matrixungleichungen, Positive Polynome und Zahme Geometrie. Konvexe Mengen in einem algebro-geometrischen Kontext spielen somit auf vielfältige Weise eine Rolle. Auf diese Weise entstehen auch Brücken zur konvexen Optimierung und zu vielfältigen Anwendungen.

Für Informationen zu vertiefenden Inhalten im Bereich der Optimierung, besuchen Sie bitte die Homepage der WG Numerical Optimization.

Es werden verschiedene Haupt- und Spezialisierungsmodule in der Statistik angeboten. Dazu gehören die folgenden

Mathematische Statistik II (4+2-stündig, 9 ECTS):
Der erste Teil der Vorlesung gibt eine Einführung in die schwache Konvergenz auf metrischen Räumen, mit Anwendungen bei stochastischen Prozessen und funktionalen Grenzwertsätzen. Der zweite Teil gibt eine Einführung in die Theorie des statistischen Schätzens. Auf entscheidungstheoretischer Grundlage diskutieren wir Methoden zur Beurteilung der Güte von Schätzverfahren und Methoden zur Konstruktion von Schätzern.

Zeitreihenanalyse (4+2-stündig, 9 ECTS)
Wir geben eine systematische Einführung in die Theorie der Zeitreihenanalyse. Ein besonderer Schwerpunkt ist hierbei das Verständnis der mathematischen Grundlagen und die Bedeutung der Modellbildung für die Datenanalyse. Die Spektraldarstellung stationärer Prozesse führt zu einer eleganten Theorie im Hilbertraum der quadratintegrierbaren Zufallsvariablen. Wir diskutieren parametrische und nichtparametrische Inferenz- und Vorhersageverfahren auf der Zeit- und Frequenzebene.

Multivariate Statistik (2+2-stündig, 5 ECTS)
Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Theorie der multivariaten Normalverteilung. Nach etwas Verteilungstheorie diskutieren wir Probleme des Schätzens und Testens der eigentlichen Parameter, sowie Probleme der Varianz- und Regressionsanalyse. Im zweiten Teil geben wir eine Einführung in die Theorie der funktionalen Datenanalyse.