Kolloquien und Oberseminare Übersicht Detail

Vortragende Person/Vortragende Personen:
Eberhard Becker

Im Vortrag wird eine Übersicht gegeben, wie mit topologischen Methoden Resultate über Summen von Potenzen in einem formalreellen (kurz: reellen) Körper $K$ erzielt werden können. Von zentraler Bedeutung sind hierfür der kompakte Raum $M=M(K)$ seiner reellen Stellen und der reelle Holomorphiering $H=H(K)$ derjenigen Elemente von $K$, die an allen reellen Stellen einen endlichen Wert haben. Aus der Idealtheorie von $H$ und den Eigenschaften der Einheitengruppe $E$, speziell der Gruppe $E_{+}$ der totalpositiven Einheiten, lassen sich quantitative Aussagen über Potenzsummen gewinnen, und zwar durch die Untersuchung von zwei Darstellungen
$$ H\rightarrow C(M,\mathbb{R}) \text{ und } S^n(H) \rightarrow C(M,S^n) ,$$
wobei $S^n(H)$ die $n-$Sphäre über $H$ und $S^n$ die \"uber $\mathbb{R}$ ist. Dazu kann bei der ersten Darstellung die Theorie von Vektorbündeln und bei der zweiten die Homotopietheorie herangezogen werden. Anwendungen auf reelle Funktionenkörper über $\mathbb{R}$ werden skizziert.

Literatur: E.Becker 1) in Séminaire de Structures Algébrique Ordonnées (DDGS), Jahrbände 2015-2016, 2018-2020, 2) "A note on approximation and homotopy in $C(X,S^n), n=1,3,7$", Ann.Math.Pol. 126, 2021.

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The lecture will give an overview of how topological methods can be used to obtain results about sums of powers in a formally real (in short: real) field $K$. Of central importance are the compact space $M=M(K)$ of its real places and the real holomorphy ring $H=H(K)$ of those elements of $K$ which have a finite value at all real places. Making use of the ideal theory of $H$ and the properties of the group of units $E$, especially the group of totally positive units $E_{+}$, quantitative statements about sums of powers can be obtained by analyzing the following two representations
$$ H\rightarrow C(M,\mathbb{R}) \text{ und } S^n(H) \rightarrow C(M,S^n) ,$$
where $S^n(H)$ is the sphere over $H$ and $S^n$ the sphere over $\mathbb{R}$. The theory of vector bundles can be used for the first representation and homotopy theory for the second. Applications to real function fields over $\mathbb{R}$ are outlined.

Literature: E.Becker 1) in Séminaire de Structures Algébrique Ordonnées (DDGS), Volumes 2015-2016, 2018-2020, 2) "A note on approximation and homotopy in $C(X,S^n), n=1,3,7$", Ann.Math.Pol. 126, 2021.