Vorlesung zur Funktionalanalysis (Wintersemester 2006/07)

Prof. Dr. Robert Denk, Prof. Dr. Dieter Hoffmann

Inhalt:
Diese Vorlesung gibt eine Einführung in grundlegende Fragestellungen und Methoden der Funktionalanalysis. Sie wendet sich an Studierende des Hauptstudiums mit einem Interessenschwerpunkt in anwendungsorientierter Analysis, aber auch an mathematisch interessierte Student(inn)en der Physik und der Mathematischen Finanzökonomie.

Vorausgesetzt werden neben grundlegenden Dingen aus der Linearen Algebra solide analytische Grundkenntnisse und die Beherrschung der einschlägigen Techniken. Zudem sollten topologische Grundbegriffe, zumindest für metrische Räume, schon etwas vertraut sein.

Die Funktionalanalysis beschäftigt sich mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen sowie den linearen Abbildungen zwischen ihnen, den Operatoren. Im unendlich-dimensionalen Fall kann vieles passieren, was man aus der Linearen Algebra im endlich-dimensionalen Fall nicht kennt. So gibt es lineare Abbildungen, die nicht stetig sind, surjektive Abbildungen eines Raumes in sich müssen nicht injektiv sein, und es gibt unendliche Matrizen, die keinen Eigenwert besitzen. Hier heißt es, genauer hinzusehen und z. B. die verschiedenen Konvergenzbegriffe zu unterscheiden. Die Sätze der Funktionalanalysis analysieren die zugrundeliegenden Strukturen und erlauben damit ein tieferes Verständnis. So können z. B. Funktionen als Punkte in einem Raum verstanden werden, was einem erlaubt, auch geometrische Begriffe wie die Orthogonalität zu verwenden und auszunützen. Die Frage der Eigenwerte wird letztlich durch den Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren beantwortet, der wesentlich für die theoretische Physik ist.

Die Ergebnisse der Funktionalanalysis sind fundamental für viele Bereiche der Mathematik, unter anderem für die Theorie partieller Differentialgleichungen, die mathematische Physik und die Numerik. In der Vorlesung werden Themen wie normierte Vektorräume, Dualräume, Hahn-Banach- Sätze, Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit sowie beschränkte und unbeschränkte Operatoren und ihre Spektraldarstellung behandelt.

Literatur:
Literatur wird in einem Semesterapparat zusammengestellt und zu Beginn der Vorlesung etwas kommentiert werden.