Forschungsinteressen

Beschreibung meiner Forschung

Die partiellen Differentialgleichungen (PDEs) der mathematischen Strömungsmechanik beschreiben die zeitliche Entwicklung von Fluiden. Man geht davon aus, dass mehrmaliges Wiederholen desselben Experiments mit einem realen Fluid immer zur gleichen Beobachtung führt. Diese Tatsache sollte sich auch in Form von Eindeutigkeit der Lösung im zugrundeliegenden mathematischen Modell (d.h. der zugehörigen PDE) wiederfinden. Allerdings kann man mithilfe einer Beweismethode namens "konvexe Integration" für viele Modelle der Strömungsmechanik unendlich viele Lösungen zu gegebenem Anfangsdatum konstruieren. Diese Mehrdeutigkeit stellt das hier verwendete Lösungskonzept (sog. schwache Entropie-Lösungen) infrage.

Ferner wurde mithilfe der konvexen Integration die aus der Turbulenztheorie kommende Vermutung von Onsager bewiesen, welche aufzeigt wie regulär turbulente Strömungen sein können. Dies deutet auf einen Zusammenhang zwischen Mehrdeutigkeit und Turbulenz hin.

Meine Forschung zielt darauf ab ein geeignetes Lösungskonzept zu finden, insbesondere im Hinblick auf turbulente Strömungen. Kann der Begriff der schwachen Lösung durch ein Zusatzkriterium, welches aus den vielen Lösungen eine auswählt, gerettet werden? Oder muss stattdessen ein verallgemeinerter Lösungsbegriff betrachtet werden (z.B. maß-wertige Lösungen)? Können wir überhaupt davon ausgehen, dass turbulente Lösungen eindeutig sind? Warum lässt das Konzept der schwachen Entropie-Lösung in mehreren Raumdimensionen mehrere Lösungen zu, wohingegen es doch in einer Dimension zu zufriedenstellenden Existenz- und Eindeutigkeitsresultaten führt?

Weiterhin soll meine Forschung dazu beitragen das physikalsche Phänomen der Turbulenz besser zu verstehen. Welche Eigenschaften haben turbulente Lösungen (z.B. im Hinblick auf Regularität)? Gibt es hierbei Unterschiede zwischen den verschiedenen Modellen der mathematischen Strömungsmechanik?